Interpolación De Newton Con Diferencias Divididas
Explicacion:
Interpolacion es, a partir de una serie de puntos, obtener una ecuación cuya curva pase por todos ellos o lo mas cerca posible.
El método de interpolación de Newton es un poco mas complicado que el de Lagrange, pero como todo lo de Newton, es mas preciso.
Por supuesto que este método tiene todo un desarrollo teórico para llegar a la ecuación general, pero es demasiado largo y para fines prácticos lo que sirve al final es solo la forma de realizar el método y como aplicarlo.
La ecuación general para este método es la siguiente:
Lo importante de este método o la parte interesante es el cálculo de las b's.
Aquí es donde el método toma su nombre de diferencias divididas. Hay distintas formas de hacerlo, pero una de las que mas se recomiendan porque es clara y fácil es la siguiente:
Primero se ponen en 2 columnas acomodados de tal modo que se correspondan todas las x y las f(x) que se desean interpolar.
Después se hacen a su lado tantas columnas como puntos son -1, así si son 5 puntos se hacen 4 columnas. Así para el caso de tener 5 puntos el acomodo quedaría mas o menos así:
X
|
f(x)
|
f(xi,xi)
|
f(xi,xi,xk)
|
...
|
...
|
x0
|
f(x0)
|
f(x1,x0)
|
f(x2,x1,x0)
| ||
x1
|
f(x1)
|
f(x2,x1)
|
f(x3,x2,x1,x0)
| ||
x2
|
f(x2)
|
f(x3,x2)
|
f(x3,x2,x1)
|
f(x4,x3,x2,x1,x0)
| |
x3
|
f(x3)
|
f(x4,x3,x2,x1)
| |||
x4
|
f(x4)
|
f(x4,x3)
|
f(x4,x3,x2)
|
La notación f(x1,x0) se interpreta de la siguiente manera:
, así como f(x2,x1) es: 
, esto para b1.
Para b2 la notación f(x2,x1,x0) es: 
y así se van obteniendo sucesivamente todos los valores de b que son los que quedan en la primera celda de arriba para abajo en todas las columnas.
y así se van obteniendo sucesivamente todos los valores de b que son los que quedan en la primera celda de arriba para abajo en todas las columnas.
Con este ejemplo se verá mas claramente de lo que se habla:
x
|
f(x)
|
_
|
_
|
_
|
-3
|
2
|  |  |
_
|
7
|
-1
|  |
_
|  |
17
|
9
|
_
|
_
|
_
|
27
|
11
|  |  |
_
|
Una vez obtenidos dichos valores simplemente se sustituyen en la ecuación general, se simplifica dicha ecuación y se tiene una cuya curva pasa casi exactamente por todos los puntos especificados.
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